[정리] 일차함수와 탄젠트의 관계
일차함수 y=mx+n의 기울기 m과
x축과 일차함수 사이의 각 θ(단, 0°≤θ<90°)에 대하여
m=tanθ
삼각비 sin, cos, tan 중 tan(탄젠트)는 일차함수의 기울기와 밀접한 관계가 있습니다.
이번 시간에는 일차함수의 기울기와 탄젠트 값 사이에 어떤 관계가 있는지 알아봅시다.
1. 일차함수의 기울기
일차함수는 (y의 변화량)÷(x의 변화량)에 따라 기울어진 정도가 다릅니다.
이를 기울기라고 부릅니다.
기울기는 일차함수 y=mx+n에서 m(x의 계수)과 같습니다.
예) y=3x는 두 점 (0,0), (1,3)을 지납니다.
(0,0)에서 (1,3)으로 이동할 때
x의 변화량은 1, y의 변화량은 3입니다.
기울기는 3÷1=3입니다.
예) y=2x-5는 두 점 (0,-5), (1, -3)을 지납니다.
(0,-5)에서 (1,-3)으로 이동할 때
x의 변화량은 1, y의 변화량은 2입니다.
기울기는 2÷1=2입니다.
2. tan의 값
일차함수 y=mx(m>0)의 두 점 (0,0), (1,m)을 잡고, 점 (1,m)에서 x축에 내린 수선의 발 (1,0)을 잡으면 그림과 같습니다.
이때 만들어지는 도형은 직각삼각형입니다.
원점을 각의 꼭짓점으로 갖는 각의 크기를 θ라고 약속할 때,
tanθ는 (높이)÷(밑변)입니다.
밑변의 길이는 1이고 높이는 m이므로
tanθ=m÷1=m입니다.
예) y=x+3에서 기울기는 1로, 이 그래프와 x축이 이루는 각은
tan45°=1
45°입니다.
생각해보기
좌표평면 위의 일차함수의 그래프 l과 x축이 이루는 각이 30°이고 l이 (2,√3)을 지날 때, l의 x절편과 y절편을 구하여라.
안녕하세요. 일차함수 포스팅으로 돌아왔습니다. 자, 일차함수는 뭘까요?
일차방정식 아시죠? 일차방정식은 ax+b=0(a≠0)의 꼴로 표현가능한 방정식이었습니다. 일차함수는 0이 또다른 변수 y로 바뀌어 y=ax+b(a≠0)의 꼴로표현가능한 함수입니다. 그러면 이 일차함수의 특징을 알려드리죠.
일차함수에서 우리는 우선 x의 계수 a에 주목해봅니다. 이 a는 일차함수의 기울기입니다. 기울기란, x가 m만큼 증가할 때 y가 n만큼 증가한다면 그 일차함수의 기울기는 n/m이 됩니다. 이 a는 일차함수의 기울기를 조절해 주는 역할을 합니다.
이때, 이 a가 양수일 때에는 직선이 오른쪽 위를 향합니다. 왜냐면 x와 y 모두가 점점 커지는 함수이기 때문이죠. 기울기 n/m에서 n과 m이 모두 양수이면 n/m 역시 양수잖아요? 같은 원리입니다.
그러면 반대로 이 a가 음수라면, 직선은 오른쪽 아래를 향합니다. 왜 그럴까요? x가 커질수록 y는 점점 줄어드는 함수이기 때문이죠. n/m에서 m은 양수이지만 n은 음수이면 기울기 n/m 역시 음수잖아요? x는 오른쪽으로 커지는데 y가 아래쪽을 향하면 오른쪽 아래를 향하게 되죠.
또 |a|의 값이 커질수록 그 일차함수의 기울기가 커집니다. 기울기가 커진다는 말은 일차함수가 y축과 이루는 각도가 점점 작아진다는 말입니다.
또 중요한 사실이 있습니다. 일차함수 y=ax+b의 그래프 위에 있는 임의의 점의 순서쌍 (p, q)에서 아까의 함수식에 x=p, y=q를 대입하면 반드시 그 등식은 성립합니다. 우리가 너무 문자만 보고 있으니 한번 수를 가지고 놀아 보죠.
점 (2, 9)가 y=2x+5의 그래프 위에 있을까요? y=2x+5의 식에 x=2, y=9를 넣어 봅시다. 9=2×2+5이라는 식이 되죠. 등호가 성립하므로 점 (2, 9)는 y=2x+5의 그래프 위에 있습니다.
이제 이 일차함수의 x절편과 y절편을 알아보죠. 자, 일차함수 y=ax+b의 x절편이란, y=ax+b의 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표를 말합니다. x축에서는 y좌표가 0이죠? 그러면 아까 y=ax+b에 y=0을 넣어 보세요. 그러면 0=ax+b, x=-b/a가 됩니다. 즉 무슨 말이냐, 일반적인 일차함수 y=ax+b의 x절편의 좌표는 (-b/a, 0)이 됩니다.
그러면 y절편은 어떨까요? y=ax+b가 y축과 만나는 점이므로 x좌표가 0입니다. 그러면 x에 0 넣어 보세요. y=b가 되죠? 따라서 일차함수 y=ax+b의 y절편의 좌표는 (0, b) 입니다.
그리고 마지막, 일차함수를 구하는 방법입니다.
그 전에 기울기를 구하는 방법을 알아야 합니다. 일차함수의 두 점 (w, x), (y, z)가 주어졌을 때 이 일차함수의 기울기를 구하는 방법입니다. x값이 w에서 y 만큼 증가하는 동안 y값은 x에서 z까지 증가했으므로 기울기 a=(z-x)/(y-w)입니다.
그러면 본격적으로 해 볼까요? 일차함수를 구하는 방법입니다. 가장 쉬운 일차함수! 기울기가 m이고 y절편이 n인 직선은 y=mx+n으로 씁니다(정말 쉽죠?)
기울기가 m이고 한 점 (p, q)를 지나는 직선은, y=mx+b로 두고 x=p, y=q를 대입해 b를 구하면 됩니다.
두 점 (m, n), (p, q)를 지나는 직선은 아까와 같이 기울기를 구한 후에 그 기울기를 t로 두면 y=tx+b로 두고 x=m, y=n을 대입해 b를 구하면 됩니다.
x절편이 m이고 y절편이 n인 직선입니다. 이는 곧 두 점 (m, 0), (0, n)을 지난다는 말이 되므로 같은 방법으로 기울기를 구하고 대입해 구하면 됩니다.
지금까지 일차함수 포스팅이었습니다.
자, 이제 심화학습입니다(바꿔 말할까요? 읽을 사람만 읽으세요). 사실 일차함수 y=ax+b는 y=ax를 평행이동시켜 만든 그래프인 것은 아시죠? 그러면 본격적으로 하죠. y=ax의 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동시킨 그래프는 어떤 그래프일까요? 여기서 핵심은, '기울기는 같다' 입니다. y=ax의 그래프는 점 (0, 0)을 지나는 그래프인 건 아시죠? 그러면 이 그래프를 y축 방향으로 m만큼 평행이동시켜 보죠. 자, 그러면 점 (0, m)을 지나야 하겠네요. 그 말은, y=ax의 그래프가 지나는 점 (0. 0)을 (0, m)으로 바꿔야 합니다. 자, x에는 0을 넣어 봅시다. 그러면 y=0이 되죠. 여기서 어떠한 상수를 추가해서 y가 m이 되게 만들어야 합니다(y=m으로 만들어야 합니다). 차라리 y=m의 식에서 한쪽을 0으로 만드는 게 편하겠네요. m을 이항해볼까요? y-m=0입니다. 아까 x=0이라고 했죠? 그러니까 우변의 0은 ax로 다시 쓸 수 있습니다. 즉, y=ax의 그래프를 y축 방향으로 m만큼 평행이동시킨 그래프는 y-m=ax의 그래프입니다.(제가 왜 심화학습이라고 했는지 알겠죠? 이해가 힘들 수 있습니다. 그런데 걱정하진 마세요. 중학교에서는 이런 내용 안 가르치니까요.)
자, 그러면 x축 방향으로 n만큼 움직인다면요? 그 말은 (n, 0)을 지난다는 말입니다. 아까 y=ax의 그래프에 y=0을 넣어 봅시다. 0=ax이죠. 양변을 a로 나누면 0=x. 여기서 우리는 x=n으로 만들려고 하니까 x-n=0이라는 뜻이고 즉 0=x-n입니다. 양변에 다시 a를 곱해 볼까요? 0=a(x-n)이고 아까 y=0이라고 했으므로 y=a(x-n)입니다. 정리하면, y=ax의 그래프를 x축 방향으로 n만큼 평행이동하면 y=a(x-n)의 그래프가 됩니다.
자, 그러면 처음 문제를 해결해 보죠. 우선 y=ax의 그래프를 y축 방향으로 이동시켜 봅시다. y-p=ax가 되는군요. 자 그러면 이 식을 다시 x축 방향으로 평행이동시키면 y-p=a(x-q)가 됩니다. 이 내용은 중학교 심화 문제들을 풀 때 요긴하게 쓰이므로 알아두시는 게 좋습니다.