Python 함수값 얼마 이상일 때 그리기

0. 차례

1. 들어가기

2. 확률분포란?

3. 정규분포이란(Normal probability Distribution)?

4-1. 정규분포 그리기

4-2. 정규분포확률 구하기 및 누적확률밀도분포 그리기

4-3. 정규분포의 분위수(quartile) 구하기

4-4. 정규확률분포의 랜덤난수 구하기

5. 요약

6. 참고자료(Reference)

7. 더보기

1. 들어가기

이번 포스팅에서는 정규확률분포(Normal probability distribution)를 R에서 어떻게 구현할 수 있는 지에 대해 살펴보겠습니다. Python에서는 많은 종류의 확률분포에 대한 함수가 내장되어있습니다. 확률밀도 뿐만 아니라 누적분포값, 난수생성, 분위수값을 각각 구할 수 있습니다.

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2. 확률분포란?

확률분포는 확률변수가 특정한 값을 가질 확률을 나타내는 함수를 의미합니다. 예를 들어 주사위를 던질 때 나오는 수가 확률변수가 되었을 때, 모든 수가 가지는 확률을 표나 그래프로 나타낸 것이라고 생각하면 됩니다. 확률분포는 확률변수가 취하는 값이 이산값이냐 연속값이에 따라 이산확률분포(discrete probability distribution)와 연속확률분포(Continuous probability distribution)로 나뉩니다.

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3. 정규분포이란(Normal probability Distribution)?

정규분포는 연속확률분포로서 가장 자주 쓰이는 확률분포입니다. 모양은 평균을 중심으로 하나의 봉우리형태를 띄며 한 집단의 많은 사람들의 키, 몸무게, 시험성적 등의 데이터에 잘 나타나는 분포입니다. 가우시안(Gausssian) 분포라고 불리며 위치모수는 평균(μ)와 모양모수 표준편차(σ)을 가집니다(즉, 이 수치에 의해 정규분포의 특성이 결정된다고 생각하면 됩니다.) 수식은 다음과 같이 표현됩니다.

확률변수 X가 정규분포를 따를 때 간단하게 'X~N(μ, σ2)' 로 표시합니다.

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4-1. 정규분포 그리기

Python에서 정규분포의 확률밀도값(확률값이 아님을 유의)은 scipy.stats 패키지의 norm.pdf() 함수로 구할 수 있습니다. 이때 norm.pdf() 함수의 인자는 다음과 같습니다.

그럼, 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포(표준정규분포)를 그려보도록 하겠습니다.

>>> #정규확률분포 그리기 >>> from scipy.stats import norm >>> import matplotlib.pyplot as plt >>> import numpy as np >>> rv = norm(loc = 0, scale = 1) #평균 0이고 표준편차 1인 정규분포 객체 만들기 >>> x = np.arange(-3, 3, 0.01) #X 확률변수 범위 >>> y = rv.pdf(x) #X 범위에 따른 정규확률밀도값 >>> fig, ax = plt.subplots(1,1) >>> ax.plot(x, y,'bo', ms=8, label = 'normal pdf') >>> ax.vlines(x, 0, y, colors='b', lw =5, alpha =0.5) #결과는 >>> ax.set_ylim([0,1.05]) #y축 범위

위에서 확인할 수 있는 것처럼 평균 0을 기준으로 대칭임을 알 수 있습니다.

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4-2. 정규분포확률 구하기 및 누적확률밀도분포 그리기

연속확률밀도함수값은 확률을 의미하는 것이 아니며 확률은 특정 구간의 확률밀도함수의 너비가 됩니다. 즉 P(-2<X<2)은 -2<X<2의 넓이를 구해야 합니다. P(-2<X<2)는 P(X<2) - P(X<-2)로 구할 수 있는데 P(X<-2), P(X<2)는 확률밀도함수의 누적밀도를 구하는 함수인 scipy 패키지의 norm.cdf() 함수로 구할 수 있습니다. norm.cdf() 함수의 입력인자는 다음과 같습니다.

우선, P(-2<X<2)의 확률값을 norm.cdf() 함수로 구해보도록 하겠습니다.

>>> #정규확률분포 그리기 >>> from scipy.stats import norm >>> rv = norm(loc = 0, scale = 1) #평균 0이고 표준편차 1인 정규분포 객체 만들기 >>> rv.cdf(2) - rv.cdf(-2) #P(-2 < X < 2) 확률구하기 0.9544997361036416

P(-2 < X < 2)의 확률은 0.9544997 임을 알 수 있습니다.

정규누적확률밀도분포 역시 norm.cdf() 함수를 이용하면 쉽게 그릴 수 있습니다.

>>> #정규누적확률분포그리기 >>> from scipy.stats import norm >>> import matplotlib.pyplot as plt >>> import numpy as np >>> rv = norm(loc = 0, scale = 1) #표준정규확률객체 만들기 >>> x = np.arange(-3, 3, 0.05) #X 확률변수 범위 >>> y = rv.cdf(x) #X 범위에 따른 누적확률밀도값 >>> fig, ax = plt.subplots(1,1) >>> ax.plot(x, y,'bo', ms=4, label = 'normal pmf') >>> ax.vlines(x, 0, y, colors='b', lw =5, alpha =0.5) #결과는 >>> ax.set_ylim([0,1.05]) #y축 범위

위의 그래프처럼 X가 증가할 수록 1에 수렴하는 그래프가 그려짐을 확인할 수 있습니다.

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4-3. 정규분포의 분위수(quartile) 구하기

어느 고등학교생의 전교생의 상위 5%의 수학점수는 얼마인지를 구하라는 문제를 가끔보게 됩니다. 이것을 수학적인 용어로 바꾸면 0.95 분위수를 구하라는 말이 됩니다. 만약 특정분포가 정규분포이다면 Python에서는 scipy 패키지의 norm.ppf() 함수를 이용해서 구할 수 있습니다. norm.ppf() 함수의 입력인자는 다음과 같습니다.

그럼 0.5 분위수값을 구해보도록 하겠습니다.

>>> #0.5 분위수값 구하기 >>> from scipy.stats import norm >>> rv = norm(loc = 0, scale = 1) #표준정규확률객체 만들기 >>> rv.ppf(0.5) #0.5 분위수값 0.0

위에서 알 수 이있듯이 0.5 분위수는 X=0임을 알 수 있습니다.

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4-4. 정규확률분포의 랜덤난수 구하기

scipy.stats 패키지의 norm.rvs() 함수는 정규확률분포로부터 난수를 생성시킬 수 있습니다. 입력인자는 size, random_state 등이 있으며 size 인자는 난수갯수이며, random_state은 난수가 계산될 때, 초기값을 정하여 항상 같은 결과가 나오게 설정하는 인자입니다. random_state는 정수로 입력하면 됩니다.

먼저, random_state을 입력하지 않고 같은 난수 코드를 실행시켜봅시다.

>>> #정규확률분포의 랜덤난수 생성하기 :같은 코드 다른 난수(!주의) >>> from scipy.stats import norm >>> rv = norm(loc = 0, scale = 1) #정규확률객체 만들기 >>> rv.rvs(size = 4) #정규확률분포를 따르는 4개 난수생성(첫번째 실행) array([ 0.85627447, -0.70502111, -0.32706468, 0.7818646 ]) >>> rv.rvs(size = 4) #정규확률분포를 따르는 4개 난수생성(두번째 실행) array([-0.77839222, -2.17774312, 1.05850259, 0.29187685])

위에서 확인할 수 있듯이 같은 코드를 실행시켰는 데, 난수 결과는 완전히 다릅니다. 이를 통제하고 싶으면 rvs() 함수의 random_state 인자를 아래와 같이 설정하여 실행시킵니다.

>>> #random_state을 이용한 초기값고정: 같은 코드 같은 난수 >>> from scipy.stats import norm >>> rv = norm(loc = 0, scale = 1) #표준정규확률객체 만들기 >>> rv.rvs(size = 4, random_state = 50) #정규확률분포를 따르는 4개 난수생성 첫번째 실행 array([-1.56035211, -0.0309776 , -0.62092842, -1.46458049]) >>> rv.rvs(size = 4, random_state = 50) #정규확률분포를 따르는 4개 난수생성 두번째 실행 array([-1.56035211, -0.0309776 , -0.62092842, -1.46458049])

위에서 확인할 수 있듯이 첫번째 실행을 하든 두 번째 실행을 하든 같은 난수가 생성되게 됩니다. 2번 이상을 시도해도 같은 난수가 생성되게 됩니다.

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5. 요약

- Python에서 scipy.stats 패키지를 이용해 정규확률분포에 대한 함수를 사용할 수 있음.

- 정규확률분포는 norm.함수명을 사용.​

- 정규확률밀도함수는 norm.pdf()함수를사용함.​

- 정규누적확률밀도함수는 norm.cdf()함수를 사용함.​

- 정규확률분포의 분위수는 norm.ppf()함수를 사용함.​

- 정규확률분포의 랜덤난수생성은 norm.rvs()함수를 사용함.

- 랜덤난수를 생성할 때, norm.rvs() 함수의 random_state 인자로 초기값을 고정할 수 있음.

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6. 참고자료(Reference)

1) https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.norm.html

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7. 더보기​

1) R로 정규확률분포 그리기